2010-2011学年福建省南平市邵武一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞），则（ ）
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p假q真

2. 难度：中等

设{a_n}是有正数组成的等比数列，S_n为其前n项和．已知a₂a₄=1，S₃=7，则S₅=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为（ ）
A．24πcm²，36πcm³
B．15πcm²，12πcm³
C．24πcm²，12πcm³
D．以上都不正确

4. 难度：中等

二项式（-2）⁶的展开式中，常数项是（ ）
A．20
B．160
C．-160
D．-20

5. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²-b²=bc，sinC=2sinB，则∠A的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

用数字2，3，5，6，7组成没有重复数字的五位数，使得每个五位数中的相邻的两个数都互质，则得到这样的五位数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，M为双曲线上一点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且，则双曲线的离心率（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2） 当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＜f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＜f（sin2）

9. 难度：中等

有一矩形纸片ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为B′，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过B′作B′H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（ ）

A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

10. 难度：中等

已知函数有两个零点x₁，x₂，则有（ ）
A．x₁x₂＜0
B．x₁x₂=1
C．x₁x₂＞1
D．0＜x₁x₂＜1

二、填空题

11. 难度：中等

设复数满足i-z=2-i，则 z=    ．

12. 难度：中等

设ξ～N（0，1），且P（|ξ|＜b）=a（0＜a＜1，b＞0），则P（ξ≥b）的值是    （用a表示）．

13. 难度：中等

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为    ．

三、解答题

14. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为______．

四、填空题

15. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②若p=a+（a＞2），q=（x∈R），则p＞q，
③已知=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=处取得最小值，则f（-x）=-f（x）．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号都填上）

五、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx）
（1）当x∈[，]时，求函数f（x）=2•+1的最大值．
（2）设f（x）=2•+1，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=，并且对于任意n∈N^*，且n＞1时，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和T_n，并证明T_n＜-．

18. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

设函数，已知f（x）在x=1处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）当（其中e是自然对数的底数）时，证明：e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）证明：对任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立．

21. 难度：中等

（1）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．