2010-2011学年辽宁省铁岭市六校高三（上）第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a＞0，使不等式|x-4|+|x-3|＜a在R上的解集不是空集，则a的取值范围（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

函数在上单调递增，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥-1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x），满足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A．f（sinα）＞f（sinβ）
B．f（cosα）＞f（cosβ）
C．f（sinα）＜f（cosβ）
D．f（sinα）＞f（cosβ）

5. 难度：中等

若x，y，a∈R⁺，且恒成立，则a的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．

6. 难度：中等

定积分等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y-11=0
B．（x-1）²+（y-2）²=5
C．2x-y=0
D．x+2y-5=0

8. 难度：中等

设{a_n}是由正数组成的等差数列，{b_n}是由正数组成的等比数列，且a₁=b₁，a₂₀₀₃=b₂₀₀₃，则必有（ ）
A．a₁₀₀₂＞b₁₀₀₂
B．a₁₀₀₂=b₁₀₀₂
C．a₁₀₀₂≥b₁₀₀₂
D．a₁₀₀₂≤b₁₀₀₂

9. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

10. 难度：中等

以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．4x-3y-3=0
B．x-4y+3=0
C．4x+y-5=0
D．x+4y-5=0

11. 难度：中等

设a＞0，点集S的点（x，y）满足下列所有条件：①；②；③x+y≥a；④x+a≥y；⑤y+a≥x．则S的边界是一个有几条边的多边形（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

12. 难度：中等

若函数f（x）=x³-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A．k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B．-3＜k＜-1或1＜k＜3
C．-2＜k＜2
D．不存在这样的实数k

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．   

14. 难度：中等

若锐角α、β满足（1+tanα）（1+tanβ）=4，则α+β=    ．

15. 难度：中等

设，且α为第二象限角，则y    0．（填≥、≤、＞、＜）

16. 难度：中等

一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知α、β是锐角，，且满足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求证：tan（α+β）=2tanα
（2）求tanβ的最大值，并求取得最大值时tanα的值．

18. 难度：中等

已知f（x）=a^x+b（a＞0且a≠1，b为常数）的图象经过点（1，1）且0＜f（0）＜1，记，（x₁、x₂是两个不相等的正实数），试比较m、n的大小．

19. 难度：中等

已知a＞1，在函数y=log_ax（x≥1）的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为t、t+2、t+4．
（1）若△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）判断S=f（t）的单调性．

20. 难度：中等

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，（x∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）设b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

22. 难度：中等

已知点P为圆x²+y²=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分．