Question

已知α、β是锐角，，且满足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求证：tan（α+β）=2tanα
（2）求tanβ的最大值，并求取得最大值时tanα的值．

Answer

（1）把条件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要证明的结论中的角表示为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用两角和与差的正弦公式展开，整理即可证明结论．
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]===，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值时tanα的值．
【解析】
（1）证明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵知α、β是锐角，，
∴⇒tan（α+β）=2tanα
（2）因为tanβ=tan[（α+β）-α]===
又因为α是锐角
所以+2tanα≥2=2，当且仅当时取等号，此时tanα=．
故tanβ≤=．
所以：当时，