2010-2011学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C_UA∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤4}
B．{x|2＜x≤3}
C．{x|2≤x＜3}
D．{x|-1＜x＜4}

2. 难度：中等

i是虚数单位，若，则a+b的值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

3. 难度：中等

已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（-m）⊥，则实数m的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：

甲	茎	乙
5  7	1	6  8
8  8  2	2	3  6  7

设s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s₁＜s₂
B．，s₁＞s₂
C．，s₁＞s₂
D．，s₁=s₂

5. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，a，b表示两条不同的直线，则a∥b的一个充分条件是（ ）
A．a∥α，b∥α
B．a∥α，b∥β，α∥β
C．α⊥β，a⊥α，b∥β
D．a⊥α，b⊥β，α∥β

6. 难度：中等

展开式中的常数项为（ ）
A．-1320
B．1320
C．-220
D．220

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式，设其前n项和为S_n，则使S_n＜-4成立的自然数n有（ ）
A．最大值15
B．最小值15
C．最大值16
D．最小值16

8. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1的最小正周期是    ，最大值是    ．

10. 难度：中等

如图给出的是计算1+2+4+…+2¹⁹的值的程序框图，其中判断框内应填    ．

11. 难度：中等

如图，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PC交⊙O于B、C两点，PB=2，BC=6，，则PA的长为    ，∠ACB的大小为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是    ．

13. 难度：中等

已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线3x-4y+2=0相切，则圆C的方程为    ．

14. 难度：中等

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
④∀a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点；
其中所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A、B、C成等差数列，，边a的长为．
（I）求边b的长；
（II）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：AO⊥平面BCD；
（III）求二面角A-BC-D的余弦值．

17. 难度：中等

某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．
（I）求一次摸奖中一等奖的概率；
（II）求一次摸奖得分的分布列和期望．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q的面积；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及其导数f'（x）；
（Ⅱ）当a≥-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值为，求实数m的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，设．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：．