Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q的面积；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）把圆的方程化为标准形式，求出半径，即可求得圆的面积．
（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求得k的取值范围．
（Ⅲ） 设出A，B的坐标，用条件向量与共线可得解得，由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数k．
【解析】
（Ⅰ）圆的方程可化为（x-6）2+y2=4，可得圆心为Q（6，0），半径为2，故圆的面积为4π．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，将直线方程代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0，
整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）]2-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程①得，
②，又y1+y2=k（x1+x2）+4 ③，而．
所以，与共线等价于-2（x1+x2）=6（y1+y2），将②③代入上式，解得．
由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数k．