Question

已知数列{a_n}中，，设．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（I）由已知中，利用代入法，易求出数列{an}的前三项，再由，可以求出数列{bn}的前三项；
（Ⅱ）由已知中，．我们易得到bn是以为首项，以2为公比的等比数列，再结合．我们易得到数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）根据（II）的结论，我们可得到{an}的前n项和为Sn的表达式，利用放缩法，即可证明．
【解析】
（Ⅰ）由，得，．
由，可得b1=4，b2=8，b3=16．
（Ⅱ）证明：因，
故．
显然，因此数列bn是以为首项，以2为公比的等比数列，
即bn=．
解得．
（Ⅲ）因为=，
所以；

又=（当且仅当n=1时取等号），故．
综上可得．