2010年福建省泉州市永春一中、培元中学、季延中学、石光华侨中学联考高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合M与N的新运算：M+N={x|x∈M∪N且x∉M∩N}，若M={1，2，3}，N={2，3，4}，则M+N等于（ ）．
A．{1，2，3，4}
B．∅
C．{2，3}
D．{1，4}

2. 难度：中等

若条件p：|x+1|≤4，条件q：x²-5x+6≤0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

曲线y=xe^x+1在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A．x-y+1=0
B．2x-y+1=0
C．x-y-1=0
D．x-2y+2=0

4. 难度：中等

已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

5. 难度：中等

若，则cosα+sinα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若，且它们的前n项和S_n有最大值，则使得S_n＞0的n的最大值为（ ）
A．11
B．19
C．20
D．21

7. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字-2，-1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．则S＜2时的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．某同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，且f （2+x）=f （2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，a_n=f （n），n∈N^*，则a₂₀₁₀的值为（ ）
A．2010
B．4
C．
D．-4

二、填空题

11. 难度：中等

若函数f（x）在x=x处的f′（x）=2，则=    ．

12. 难度：中等

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=    ；不等式组表示的平面区域的面积是    ．

13. 难度：中等

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．
（1）如图1，若⊙O与AB相切于点E，求⊙O的半径；
（2）如图2，若⊙O在AB边上截得的弦FG=，求⊙O的半径．

14. 难度：中等

在△ABC中，已知（）⊥，且，2•=•则△ABC的形状是     ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，角A为钝角，且，点P、Q分别在角A的两边上．
（1）AP=5，PQ=，求AQ的长；
（2）设的值．

17. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

18. 难度：中等

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大．

19. 难度：中等

已知方向向量为的直线l过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e，．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项．

21. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．