2013年广东省江门、佛山市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3}
B．{0，1，2，3}
C．{2}
D．{-1，0，1，2，3}

2. 难度：中等

已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知命题p：∃x＞1，x²-1＞0，那么¬p是（ ）
A．∀x＞1，x²-1＞0
B．∀x＞1，x²-1≤0
C．∃x＞1，x²-1≤0
D．∃x≤1，x²-1≤0

4. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80

5. 难度：中等

函数f（x）=sin，x∈[-1，1]，则（ ）
A．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减
B．f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增
C．f（x）为奇函数，且在[-1，0]上单调递增
D．f（x）为奇函数，且在[-1，0]上单调递减．

6. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n．则“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

已知幂函数f（x）=x^a，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．a＜1
C．a＞0
D．a＜0

8. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

9. 难度：中等

直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个

10. 难度：中等

已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）．设l是长为2的线段，点集D={P|d（P，l）≤1}所表示图形的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．2+π
D．4+π

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量，满足，（-）⊥，向量与的夹角为    ．

12. 难度：中等

已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为    ．

13. 难度：中等

将集合{2^s+2^t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为b_ij（i≥j＞0），则b₄₃=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C₁：ρ=2sinθ与C₂：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B点横坐标为，求S_△AOB．

17. 难度：中等

市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车互不影响．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，
（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）；
（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？

18. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为的正方形，侧棱D₁D垂直于底面ABCD，且D₁D=3．
（1）点P在侧棱C₁C上，若CP=1，求证：A₁P⊥平面PBD；
（2）求三棱锥A₁-BDC₁的体积V．

19. 难度：中等

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，直线l过点M（4，0）．
（1）写出抛物线C₂的标准方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁C的长轴长的最小值．

20. 难度：中等

环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水．某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am²，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am²，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加am²．设第n（n≥1，且n∈N））年新城区的住房总面积为a_nm²，该地的住房总面积为b_nm²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若每年拆除4am²，比较a_n+1与b_n的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+，g（x）=，a是常数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）有极大值，求a的取值范围．