Question

环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水．某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am²，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am²，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加am²．设第n（n≥1，且n∈N））年新城区的住房总面积为a_nm²，该地的住房总面积为b_nm²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若每年拆除4am²，比较a_n+1与b_n的大小．

Answer

（1）分1≤n≤4时和n≥5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式，分别求出第n年新城区的住房建设面积为λn关于n、a的表达式，再利用等差、等比数列的求和公式即可求出{an}的通项公式关于n的分段形式的表达式；
（2）根据1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11时an+1和bn的表达式，结合作差法比较不等式大小，可得an+1＜bn；而当 n≥12时可得an+1-bn=（5n-59）a＞0，从而得到an+1＞bn，最后加以综合即可得到an+1与bn的大小的两种情况．
【解析】
（1）设第n年新城区的住房建设面积为λnm2，则当1≤n≤4时，λn=2n-1a；…（1分）
当n≥5时，λn=（n+4）a．
所以，当1≤n≤4时，an=（2n-1）a
当n≥5时，an=a+2a+4a+8a+9a+…+n（n+4）a=a
∴an=
（2）当1≤n≤3时，an+1=（2n+1-1）a，bn=（2n-1）a+64a-4na，显然有an+1＜bn．
当n=4 时，an+1=a5=24a，bn=b4=63a，此时an+1＜bn．
当5≤n≤16时，an+1=，bn=
∵an+1-bn=（5n-59）a．
∴当5≤n≤11时，an+1＜bn；当12≤n≤16时，an+1＞bn．
当n≥17时，显然an+1＞bn
故当1≤n≤11时，an+1＜bn；当 n≥12时，an+1＞bn．