2012年江苏省苏北四市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1，3}，B={a+1，a²+2}，若A∩B={1}，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足是虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是    ．

4. 难度：中等

箱中有号码分别为1，2，3，4，5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率为    ．

5. 难度：中等

如图是求函数值的流程图，当输出y的值为1时，则输入的x的值为    ．

6. 难度：中等

已知棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M分别为线段BD₁，B₁C₁上的点，若则三棱锥M-PBC的体积为    ．

7. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＜0）的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为    ．

8. 难度：中等

如图，已知A、B是函数y=3sin（2x+θ）的图象与x轴两相邻交点，C是图象上A，B之间的最低点，则=    ．

9. 难度：中等

设直线y=a分别与曲线y²=x和y=e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为    ．

10. 难度：中等

定义在区间[a，b]的长度为b-a，用[x]表示不超过x的最大整数．设f（x）=[x]（x-[x]），g（x）=x-1，则0≤x≤2012时，不等式f（x）≤g（x）的解集的区间长度为    ．

11. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}，∃a∈R，使得集合A中所有整数的元素和为28，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，若，且是整数，则n的值为    ．

13. 难度：中等

平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是    ．

14. 难度：中等

已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a²+b²+c²=84，则实数b的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，求sinB+sinC的最大值．

16. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD和直角梯形BDEF所在平面互相垂直，BF⊥BD，．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）求证：BE⊥平面ACF．

17. 难度：中等

如图，在C城周边已有两条公路l₁，l₂在点O处交汇，现规划在公路l₁，l₂上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城，已知OC=，∠AOB=75°，∠AOC=45°，设OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A、B的位置，使△OAB的面积最小．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

19. 难度：中等

若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数．
（1）若函数g（x）=x²-1，试判断g（x）是否为A类函数；
（2）若函数是A类函数，求函数h（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）是A类函数，当x₁＞0，x₂＞0时，证明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

20. 难度：中等

已知各项均为正整数的数列{a_n}满足a_n＜a_n+1，且存在正整数k（k＞1），使得a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂…a_k，a_n+k=k+a_n（n∈N^*）．
（1）当k=3，a₁a₂a₃=6时，求数列{a_n}的前36项的和S₃₆；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）若数列{b_n}满足，且b₁=192，其前n项积为T_n，试问n为何值时，T_n取得最大值？

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量，并且M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．

23. 难度：中等

（选做题）
在平面直角坐标系x0y中，求过椭圆参数）的左焦点与直线为参数）垂直的直线的参数方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

25. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，点P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
试求：
（1）线段D₁P的长；
（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．

26. 难度：中等

已知．
（1）若，求证：a是奇数；
（2）求证：对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得．