Question

已知．
（1）若，求证：a是奇数；
（2）求证：对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得．

Answer

（1）利用二项式定理将an=（n∈N*）展开，可求得a=+++…，从而可证a是奇数；
（2）由设an==a+b（a，b∈Z），可求得=a-b（a，b∈Z），从而可得a2-2b2=（1-2）n，对n分n为偶数与n为奇数讨论即可．
【解析】
（1）由二项式定理，得an==++++…+，
又an=a+b（a，b∈Z），
∴a=+++…，
∵2+22+…为偶数，
∴a是奇数．…（4分）
证明：（2）由（1）设an==a+b（a，b∈Z），
则=a-b（a，b∈Z），…（5分）
∴a2-2b2=（a+b）（a-b）=•=（1-2）n，…（6分）
当n为偶数时，a2=2b2+1，存在k=a2，使得an=a+b=+=+，…（8分）
当n为奇数时，a2=2b2-1，存在k=2b2，使得an=a+b=+=+，…（9分）
综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=+．   …（10分）