Question

如图，已知正方形ABCD和直角梯形BDEF所在平面互相垂直，BF⊥BD，．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）求证：BE⊥平面ACF．

Answer

（1）利用线面平行的判定证明线面平行，设AC∩BD=O，连接FO，即证明DE∥OF；
（2）利用线面垂直的判定证明线面垂直，证明BE⊥AC，BE⊥OF即可．
证明：（1）设AC∩BD=O，连接FO．
因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
因为BD=2EF，所以DO∥EF且DO=EF，
所以四边形DOFE是平行四边形，
所以DE∥OF．…（5分）
因为DE⊄平面ACF，OF⊂平面AFC，所以DE∥平面ACF．…（7分）
（2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，所以AC⊥平面BDEF，
因为BE⊂平面BDEF，所以BE⊥AC．  …（10分）
因为，所以BF=BO，所以四边形BOEF是正方形，所以BE⊥OF．  （12分）
因为OF∩AC=O，OF，AC⊂平面ACF，所以BE⊥平面ACF．       …（14分）