Question

如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer

（1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x1，x2的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN的面积是否为定值．
【解析】
（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
设P（x，y），则．由，得，
所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．
平方得，即．…（10分）
因为直线MN的方程为（x2-x1）y-（y2-y1）x+x1y2-x2y1=0，
所以O到直线MN的距离为，…（12分）
所以△OMN的面积S=MN•l=|x1y2-x2y1|=
==．
故△OMN的面积为定值1．…（16分）