2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷13（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U=R，集合M={y|y=2^x，x∈R}，集合N={x|y=lg（3-x）}，则（∁_UM）∩N=（ ）
A．{y|y≥3}
B．{y|y≤0}
C．{y|0＜y＜3}
D．∅

2. 难度：中等

0＜a≤是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

如图是某程序的流程图，则其输出结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5. 难度：中等

把函数的图象上向右平移，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设（x-a）⁸=a+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，若a₅+a₈=-6，则实数a的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

7. 难度：中等

数列{a_n}满足，则{a_n}的前60项和等于（ ）
A．960
B．1920
C．930
D．1830

8. 难度：中等

已知函数f（x）=|lgx|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则4b²+a的取值范围是（ ）
A．[3，5）
B．[3，+∞）
C．（0，3]
D．[2，3）

9. 难度：中等

已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②∀x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|．记．
根据以上信息，可以得到函数φ（x）的零点个数为（ ）
A．15
B．10
C．9
D．8

10. 难度：中等

已知向量满足，||=||，的夹角为，．若对每一个确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任何的，m-n的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

复数z=1+ai，a∈R，若z²为纯虚数，则α值为    ．

12. 难度：中等

已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有    根在棉花纤维的长度小于20mm．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：    ．

17. 难度：中等

过椭圆的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则的值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
（1）若，求∠A的大小．
（2）若三角形为非等腰三角形，求的取值范围．

19. 难度：中等

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图所示，平面四边形PABC中，∠PAB为直角，△ABC为等边三角形，现把△PAB沿着AB折起，使得△APB与△ABC垂直，且点M为AB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCM
（2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）= 
（1）求函数f（x）的极值；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2  （n∈N^*）．