2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0]
C．（0，+∞）
D．（-∞，0）

2. 难度：中等

若（1+2ai）i=1-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知点A（-1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（ ）
A．（7，4）
B．（7，14）
C．（5，4）
D．（5，14）

4. 难度：中等

设函数f（x）=，则函数的最小正周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

5. 难度：中等

以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，首项a₁=0，公差d≠0，若a_m=a₁+a₂+…+a₉，则m的值为（ ）
A．37
B．36
C．20
D．19

7. 难度：中等

设定义在[-1，7]上的函数y=f（x）的图象如图示，则关于函数的单调区间表述正确的是（ ）

A．在[-1，1]上单调递减
B．在（0，1]上单调递减，在[1，3）上单调递增
C．在[5，7]上单调递减
D．在[3，5]上单调递增

8. 难度：中等

一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）

A．7
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若直线ax-by+1=0平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

若点（a，-1）在函数的图象上，则的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=4|a|x-2a+1．若命题：“∃x∈（0，1），使f（x）=0”是真命题，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f_A（x）•f_B（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．

17. 难度：中等

某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图．

（1）求获得参赛资格的人数；
（2）根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩；
（3）现在成绩[110，130）、[130，150]（单位：分）的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130，150]的概率．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求证：MN∥平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

20. 难度：中等

如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）试探究抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax²-lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；
（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明：．