Question

如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求证：MN∥平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

Answer

（1）四边形CFED与ABFE都是正方形，利用线面垂直可得EF⊥平面ADE，再根据EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出结论；
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，先证得四边形MNN1M1为平行四边形，得MN∥N1M1，再根据线面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性质得出MN∥面BCF；
（3）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小．通过解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．
【解析】
（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，------------（5分）
∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵，
∴MM1=NN1--------------------------------（7分）
∴四边形MNN1M1为平行四边形，----------------------（8分）
∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF-------------（6分）
又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN2=AE2+EN2-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴，
即．-----------------------（14分）