2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷18（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P={x|x＜2}，Q={x|x²＜1}（ ）
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．P⊆∁_RQ
D．Q⊆∁_RP

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃a₉=2，a₂=2，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（ ）

A．C_n^m-1
B．A_n^m-1
C．C_n^m
D．A_n^m

4. 难度：中等

对于数列{a_n}，“a_n+1＞|a_n|（n=1，2，…）”是“{a_n}为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．|z-|=2y
B．z²=x²+y²
C．|z-|≥2
D．|z|≤|x|+|y|

6. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

7. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

8. 难度：中等

设抛物线y²=-8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A．4
B．8
C．8
D．16

9. 难度：中等

设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（ ）
A．[-4，-2]
B．[-2，0]
C．[0，2]
D．[2，4]

10. 难度：中等

某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A．y=[]
B．y=[]
C．y=[]
D．y=[]

二、填空题

11. 难度：中等

x²的展开式中x²项的系数为    ．

12. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于    ．

13. 难度：中等

如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为    ．

14. 难度：中等

设n≥2，n∈N，（2x+）ⁿ-（3x+）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，将|a_k|（0≤k≤n）的最小值记为T_n，则T₂=0，T₃=-，T₄=0，T₅=-，…，T_n…，其中T_n=    ．

15. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且，则当n≥1时，log₃a₁+log₃a₃+…log₃a_2n-1=    ．

16. 难度：中等

已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是     ．

17. 难度：中等

中国从5名外交官中选派4人去日本、韩国、菲律宾参加公益活动，每人只去一个国家，要求去日本两人参加，去韩国一人参加，去菲律宾一人参加，则不同的选派方法共有    （用数字作答）．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．
（I）求sinC的值；  
（II）当a=2，2sinA=sinC时，求b的长及△ABC的面积．

19. 难度：中等

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

如图所示，等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项a_n；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{a_n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．