Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．
（I）求sinC的值；  
（II）当a=2，2sinA=sinC时，求b的长及△ABC的面积．

Answer

（I）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，根据C为三角形的内角得到sinC的值大于0，计算即可求出sinC的值；  
（II）由2sinA=sinC，及a的值，利用正弦定理求出c的值，再由二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出cosC的值，由a，c及cosC的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（I）∵cos2C=1-2sin2C=-，0＜C＜π，
∴sinC=；
（Ⅱ）∵a=2，2sinA=sinC，
∴由正弦定理=得：c==2a=4，
∵cos2C=2cos2C-1=-，0＜C＜π，
∴cosC=±，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0，
解得：b=或b=2，
则当b=时，S△ABC=absinC=；当b=2时，S△ABC=absinC=．