2013年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i（3+4i）的虚部为（ ）
A．3
B．3i
C．4
D．4i

2. 难度：中等

若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

设向量=（4，x），=（2，-1），且⊥，则x的值是（ ）
A．8
B．-8
C．2
D．-2

4. 难度：中等

双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．24
B．20+4
C．28
D．24+4

7. 难度：中等

在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（0，1）
C．（1，4）
D．（1，+∞）

8. 难度：中等

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；
②当a=3，m=时，直线l与图象G恰有6个公共点；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

过点P（0，2）且与直线2x-y=0平行的直线方程为    ．

10. 难度：中等

已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为，则a的值等于    ．

11. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=5，a₅=3，则该数列的前10项和S₁₀的值是    ．

12. 难度：中等

若tan（π-x）=2，则tan2x的值是    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是    ．

14. 难度：中等

已知直线x=2，x=4与函数y=log₂x的图象交于A，B两点，与函数y=log₄x的图象交于C，D两点，则直线AB，CD的交点坐标是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．

16. 难度：中等

高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm）的统计数据用茎叶图表示（如图）．
（Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；
（Ⅱ）从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率．

17. 难度：中等

如图，多面体EDABC中，AC，BC，CE两两垂直，AD∥CE，ED⊥DC，，M为BE中点．
（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

18. 难度：中等

已知函数 ．
（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，） 满足m≠0，且．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前50项和S₅₀；
（Ⅲ）把集合∁_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，写出数列{d_n}的通项公式，并说明理由．