Question

如图，多面体EDABC中，AC，BC，CE两两垂直，AD∥CE，ED⊥DC，，M为BE中点．
（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

Answer

（I）设N为BC中点，连接MN，AN，利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理即可证明四边形ANMD为平行四边形．可得DM∥AN，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用线面垂直的判定和性质定理即可得到BC⊥DE．又已知DE⊥DC，利用线面垂直判定定理即可得到DE⊥平面BCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．
证明：（Ⅰ）设N为BC中点，连接MN，AN，
∵M为BE中点，∴MN∥EC，且MN=EC，
∵AD∥EC，且AD=EC，
∴四边形ANMD为平行四边形．
∴AN∥DM∵DM⊄平面ABC，AN⊂平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
Ⅱ）∵BC⊥AC，BC⊥CE，AC∩CE=C，
∴BC⊥平面ACED，
∵DE⊂平面ACED，∴BC⊥DE．
∵DE⊥DC，
又∵DE⊥BC，BC∩DC=C，∴DE⊥平面BCD．
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．