Question

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；
②当a=3，m=时，直线l与图象G恰有6个公共点；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

可求出函数在x∈[0，+∞）时的解析式，令其等于0，解方程可得根，由对称性可得根的个数，可判①②正确；③同理可得根个数为4，可得4个点的坐标，由x3-x2=x4-x3，化简可得a的范围，取a的值即可．
【解析】
设x∈[0，2），则-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函数为偶函数可知，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x），
故当x∈[0，+∞）时，f（x）=，
①当a=2，m=0时，x∈[0，+∞）时，f（x）=，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有3个公共点-2，0，2，故①正确；
②当a=3，m=时，x∈[0，+∞）时，f（x）=，
令其等于可得x=，或x=，或x=，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有6个公共点-，-，-，，，，故②正确；
③∀m∈（1，+∞），令f（x）==m，
∵当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）=-（x-1）2+1≤1，
故只能让（2-x）（a-x）=m，（m＞1），当△=（a-2）2-4m＞0，
即（a-2）2＞4，即a＞4，或a＜0时，
可解得x=，或x=，
故由函数图象的对称性可知直线l与图象G交于4个点，由小到大排列为：x1=，
x2=，x3=，x4=，
而x4-x3=，x3-x2=a+2-，
由x3-x2=x4-x3，化简可得3a2-20a+12=16m＞16，解得a＜，或a＞，
故可取a=8＞，当然满足a∈（4，+∞），使距离相等，
故对∀m∈（1，+∞），∃a=8∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故选D