2012年江苏省苏州市高三1月调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数（a+i）²对应的点在y轴的负半轴上（其中i是虚数单位），则实数a的值是    ．

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得xsinx-1≤0”的否定是    ．

3. 难度：中等

为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，30]内的人数为    ．

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₃a₅a₇=-8，则a₂a₈=    ．

5. 难度：中等

求与双曲线有共同渐近线，并且经过点（-3，）的双曲线方程．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则最后输出的W的值为    ．

7. 难度：中等

已知，3sin2α=2cosα，则cos（α-π）=    ．

8. 难度：中等

函数的单调减区间为    ．

9. 难度：中等

已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为    ．

10. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为     ．

11. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=    米．

12. 难度：中等

等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是    ．

13. 难度：中等

已知函数（a，b，c∈R，a＞0）是奇函数，若f（x）的最小值为，且，则b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=    ．

15. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．
（1）求角A；
（2）若f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A），求f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，D，E分别为AB，A₁C中点．
（1）求证：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：BB₁⊥平面A₁BC．

17. 难度：中等

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

18. 难度：中等

如图，设点P是椭圆上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线与点M，N，求证：PN⊥BM．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m²-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．