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已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m. (1)若...

已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m.
(1)若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m的取值范围;
(2)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围.
(1)解方程f(x)=|m|,解得x=0,或x=2m.由题意可得 2m≥-4,且2m≠0,由此求得实数m的取值范围. (2)命题等价于任意x1∈(-∞,4],任意的x2∈[3,+∞),fmin(x1)>成立,分m<3、3≤m<4、 4≤m三种情况,分别求出实数m的取值范围再取并集,即得所求. 【解析】 (1)方程f(x)=|m|,即|x-m|=|m|,解得x=0,或x=2m. 要使方程|x-m|=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解, 需 2m≥-4,且2m≠0.解得 m≥-2 且m≠0. 故实数m的取值范围为[-2,0)∪(0,+∞). (2)命题等价于任意x1∈(-∞,4],任意的x2∈[3,+∞),fmin(x1)>成立. 又函数f(x)=|x-m|=,故fmin(x1)=. 又函数g(x)=x|x-m|+m2-7m=, 故=. 当m<3时,有0>m2-10m+9,解得 1<m<3. 当 3≤m<4,有0>m2-7m,解得 3≤m<4. 当4≤m,有m-4>m2-7m,解得 4≤m<4+2. 综上可得,1<m<4+2,故实数m的取值范围为(1,4+2 ).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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