2010年江苏省南京市高三数学综合训练试卷（11）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=2sin（3πx-1）（x∈R）的最小正周期为     ．

2. 难度：中等

若（1+ai）²=-1+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则|a+bi|=    ．

3. 难度：中等

某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差s²=    ．

4. 难度：中等

已知两个单位向量e₁，e₂的夹角为120°，若向量a=e₁+2e₂，b=4e₁，则a•b=    ．

5. 难度：中等

已知集合，若从A中任取一个元素x，则恰有cosx=0的概率为    ．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a=    ．

7. 难度：中等

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是     ．

8. 难度：中等

若等差数列{a_n}的公差为d，前n项的和为S_n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，前n项的积为T_n，则数列为等比数列，公比为    ．

9. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x≤0，x∈R}，设函数f（x）=2^-x+a（x∈A）的值域为B，若B⊆A，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|（n∈N^*）．某学生设计了一个求T_n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T_n赋值，则空白处理框中应填入：T_n←    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则n+m=    ．

12. 难度：中等

若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取     ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k=    ．

14. 难度：中等

若函数（t∈N^*）的最大值是正整数M，则M=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：
（1）AE∥平面PBC；
（2）PD⊥平面ACE．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

18. 难度：中等

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为q，首项为a₁，其前n项的和为S_n．数列{a_n²}的前n项的和为A_n，数列{（-1）ⁿ⁺¹a_n}的前n项的和为B_n．
（1）若A₂=5，B₂=-1，求{a_n}的通项公式；
（2）①当n为奇数时，比较B_nS_n与A_n的大小；
②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．
（1）若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，求A的特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量a₁，a₂．

22. 难度：中等

已知曲线C的方程y²=3x²-2x³，设y=tx，t为参数，求曲线C的参数方程．

23. 难度：中等

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

24. 难度：中等

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的余弦值；
（2）设点P在线段GH上，且，试确定λ的值，使得C₁P的长度最短．

25. 难度：中等

设函数．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若且a₃=32，求；
（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）=mⁿf（n，t），求证：．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

27. 难度：中等

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：≥-n．