Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

Answer

（1）由已知解得．由此可知椭圆C的标准方程为．
（2）设点P（x1，y1）（-2＜x1＜3），点M，由点F、P、M三点共线，知点M．k1•k2==．由此可导出k1•k2的取值范围是．
【解析】
（1）由已知，得（2分）
解得∴（4分）
∴椭圆C的标准方程为；（6分）
（2）设点P（x1，y1）（-2＜x1＜3），
点M，∵点F、P、M三点共线，x1≠-2，
∴，，∴点M．（8分）
∵，，
∴k1•k2==．（10分）
∵点P在椭圆C上，∴，∴．
∴k1•k2===．（12分）
∵-2＜x1＜3，∴．∴k1•k2的取值范围是．（14分）