2009年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

集合A={x|0＜x≤3，x∈R}，B={x|-1≤x≤2，x∈R}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

若，则行列式=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=log₂（x+1）（x≥0）的反函数是f^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

设i是虚数单位，复数z₁=1+i，z₂=t+2i（t∈R），若z₁•是实数，则t=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=（sinx+cosx）cosx（x∈R）的最小正周期为    ．

6. 难度：中等

已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm²，则此圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

连接球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点距离的最大值是    ．

8. 难度：中等

为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是    ．

9. 难度：中等

运行如图所示的程序流程图，则输出I的值为    ．

10. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=1-a_n，则该数列所有项的和为    ．

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，则当x∈[-4，-2]时，函数f（x）的最小值为    ．

12. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

若a、b为正实数，则a＞b是a²＞b²的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

14. 难度：中等

C_n^r（n＞r≥1，n，r∈Z）恒等于（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

在实数数列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

16. 难度：中等

已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[0，+∞）
B．[-1，0]
C．（-∞，-1）∪（0，+∞）
D．（-1，0]

三、解答题

17. 难度：中等

设复数z=（a2-4sin²θ）+（1+2cosθ）i，其中i为虚数单位，a为实数，θ∈（0，π）．若z是方程x²-2x+5=0的一个根，且z在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，M为PA的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线BM与PC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

19. 难度：中等

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若α=2β=60，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得存在，并求出这个极限值．