2010年江苏省扬州中学高三数学综合练习试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

满足条件z•（1+i）=2的复数=    ．

2. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为    ．

3. 难度：中等

若向量=（1，2），=（1，-3），则向量与的夹角等于     ．

4. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x的最小值是    ．

5. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前项和，则使得S_n达到最大值的是    ．

6. 难度：中等

（文）若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值是    ．

7. 难度：中等

已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=-2，则实数a=    ．

9. 难度：中等

二次函数f（x）=ax²+2x-1的值域是（-∞，0]，则函数y=f[f（x）]的值域是    ．

10. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且x+y=xy，则u=x+4y的取值范围是     ．

11. 难度：中等

若椭圆上横坐标为的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足，在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对∀x₁∈[-2，2]，总存在x∈[-2，2]，使f（x₁）=g（x）成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0）则m的象就是n，记作f（m）=n．
则下列说法中正确命题的序号是    ．（填出所有正确命题的序号）
①； ②f（x）是偶函数；  ③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点对称．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求角A的值．

16. 难度：中等

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH∥面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

18. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）
（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；
（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

19. 难度：中等

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-2 矩阵与变换．
已知二阶矩阵．

22. 难度：中等

已知曲线C₁：（t为参数），C₂：（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₁：（t为参数）距离的最小值．

23. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E为AC的中点．
（1）求异面直线BE与PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

24. 难度：中等

为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．