2008-2009学年湖北省孝感市高三第二次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设0＜θ＜π，a∈R，，则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若f（x）=log₂x+1，则它的反函数f^-1（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（-1，2）
B．（-1，0）∪（0，2）
C．（-1，0）
D．（0，2）

4. 难度：中等

设函数f（x）=tan（ωx+ϕ），（ω＞0），条件P：“f（0）=0”；条件Q：“f（x）为奇函数”，则P是Q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

非零向量=（sinθ，2），=（cosθ，1），若与共线，则tan（θ-）=（ ）
A．3
B．-3
C．
D．-

6. 难度：中等

过直线y=2x+1上的一点作圆（x-2）²+（y+5）²=5的两条切线l₁，l₂，当直线l₁，l₂关于y=2x+1对称时，则直线l₁，l₂之间的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

下列命题中正确命题的个数是（ ）
①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；
③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；
④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

如果关于x的一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0中，a、b分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．256种
B．144种
C．120种
D．96种

10. 难度：中等

己知双曲线的方程为x²-=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于P、Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M、N，记劣弧的长度为n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

的展开式中第三项为-32，则x    ．

12. 难度：中等

已知矩ABCD中，AB=8，BC=6，沿AC将矩形ABCD折成一个二面角B-AC-则四面体ABCD的外接球的表面积为    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）满足，且，（O是坐标原点）的最大值等于    ．

14. 难度：中等

设三个正态分布N（μ_，1，σ₁²）（σ₁＞0）、N（μ₂，σ₂²）（σ₂＞0）和N（μ₃，σ₃²）（σ₃＞0）的密度函数图象如图所示，则μ₁，μ₂，μ₃按从小到大的顺序排列是    ；σ₁，σ₂，σ₃按从小到大的顺序排列是    ．

15. 难度：中等

如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B为顶点作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C为顶点作△P₂CP₃，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP₂x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P₆的坐标是；
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点P_n的横坐标是x_n，则．
其中正确结论的序号是    （把你认为正确结论的序号都填上）．

16. 难度：中等

已知向量=（cos x，0），=（0，sin x），记函数f（x）=（+）²+sin 2x，
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0，]上单调递减，求长度最小的．

17. 难度：中等

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（1）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．试问当n等于多少时，P的值最大？
（2）在（1）的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差．

18. 难度：中等

如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=xln x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）k为正常数，设g（x）=f（x）+f（k-x），求函数g（x）的最小值；
（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

20. 难度：中等

设A，B分别为椭圆（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上不同于A，的一个动点，直线PA，P与椭圆右准线相交于M，两点，证明：MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x+2，数列{a_n}满足递推关系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，a_n＜2-；
（3）证明：当n≥5时，有．