Question

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（1）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．试问当n等于多少时，P的值最大？
（2）在（1）的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差．

Answer

（1）计算出从n+5个球中任取两个的方法数和其中两个球的颜色不同的方法，由古典概型公式，代入数据得到一次摸奖中奖的概率，再利用函数的单调性求出其最大值及相应的p值即可．
（2）所取球的标号为ξ，由题意知ξ的取值是0、1、2、3，4．本题是一个独立重复试验，根据上面的p值，代入公式得到结果，写出分布列，期望和方差．
【解析】
（1）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有Cn+52种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种，
一次摸奖中奖的概率P=        …（2分）
设每次摸奖中奖的概率为p（0＜p＜1），三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率，
P==3p3-6p2+3p
∴P′=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），
由此知P在上为增函数，P在上为减函数，…（4分）
∴当时P取得最大值，即，
解得n=20或n=1（舍去），则当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．…（6分）
（2）由（1）可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ξ 1 2 3 4
P

…（8分）
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …（10分）
Dξ=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×+（3-）2×+（4-）2×=      …（12分）