2011年湖北省武汉市华师一附中高三5月模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|≤0}，则集合C_UA等于（ ）
A．{x|x＜-1或x＞2}
B．{x|x≤-1或x＞2}
C．{x|x＜-1或x≥2}
D．{x|x≤-1或x≥2}

2. 难度：中等

已知集合M={x|x=iⁿ，n∈N}，其中i为虚数单位，则下面属于M的元素是（ ）
A．（1+i）+（1-i）
B．（1+i）-（1-i）
C．（1+i）（1-i）
D．

3. 难度：中等

如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x-y|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₅=10π，则tana₈的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线

6. 难度：中等

抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元/辆，购买B型汽车需8万元/辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ）
A．10辆A型出租车，40辆B型出租车
B．9辆A型出租车，41辆B型出租车
C．11辆A型出租车，39辆B型出租车
D．8辆A型出租车，42辆B型出租车

8. 难度：中等

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x²+x+2与g（x）=2x+1在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）
A．[0，2]
B．[0，1]
C．[1，2]
D．[-1，0]

9. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）

A．108种
B．60种
C．48种
D．36种

10. 难度：中等

已知定义在[1，8]上的函数 则下列结论中，错误的是（ ）
A．f（6）=1
B．函数f（x）的值域为[0，4]
C．将函数f（x）的极值由大到小排列得到数列{a_n}，n∈N*，则{a_n}为等比数列
D．对任意的x∈[1，8]，不等式xf（x）≤6恒成立

二、解答题

11. 难度：中等

已知二项式展开式中第9项为常数项，则n=    ．

12. 难度：中等

设a是实数．若函数f（x）=|x+a|-|x-1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为    ．

13. 难度：中等

随机变量ξ的分布列如下：

ξ	-1		1
P	a	b	c

其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是    ．

14. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其中AB=a，，AD=b，AA₁=c外接球球心为点O，外接球体积为，若的最小值为，则A，C两点的球面距离为    ．

15. 难度：中等

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=，以下命题中正确的序号为    ．
（1）不论δ为何值，点N都不在直线l上；
（2）若δ=1，则过M，N的直线与直线l平行；
（3）若δ=-1，则直线l经过MN的中点；
（4）若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交．

16. 难度：中等

已知向量=（sinx，1+cos2x），=（sinx-cosx，cos2x+），定义函数f（x）=•（-）
（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A为锐角，且，求边AC的长．

17. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的边长是2，D是CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求点C到平面ABD的距离．

18. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列a_n满足，且a₁=4，求数列a_n的通项公式；
（Ⅲ）记，数列b_n的前n项和T_n，求证：．

20. 难度：中等

给定椭圆，称圆心在坐标原点x∈[2，6]，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₂距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（2）当a=0时，对任意的恒成立，求b的取值范围；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．