第23章《一元二次方程》常考题集（12）：23.2 一元二次方程的解法（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

2. 难度：中等

己知一元二次方程x²-3x+m-1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．

3. 难度：中等

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

4. 难度：中等

试证明：不论m为何值，方程2x²-（4m-1）x-m²-m=0总有两个不相等的实数根．

5. 难度：中等

关于x的一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．

6. 难度：中等

已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c-b）x²+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．

7. 难度：中等

若n＞0，关于x的方程x²-（m-2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值．

8. 难度：中等

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由．

9. 难度：中等

已知一元二次方程（m-3）x²+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．

10. 难度：中等

已知方程ax²+4x-1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？

11. 难度：中等

解方程：．

12. 难度：中等

解方程：．

13. 难度：中等

解方程：

14. 难度：中等

解方程：．

15. 难度：中等

解方程．

16. 难度：中等

解方程：

17. 难度：中等

解方程：=2．

18. 难度：中等

解方程：-8=0．

19. 难度：中等

用换元法解方程：（）²-5（）+6=0．

20. 难度：中等

在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？

21. 难度：中等

注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程；如果你选用其它的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．甲、乙两人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，问两人每小时各走几千米？

	速度（千米/时）	所用时间（时）	所走的路程（千米）
甲			15
乙	x		15

（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写表格；（要求：填上适当的代数式．）
（2）列出方程（组），并求出问题的解．

22. 难度：中等

某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？

23. 难度：中等

我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？

24. 难度：中等

某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒．节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．

25. 难度：中等

《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即每一时刻的车速都不能超过110千米/时．以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断．张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点．”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？

26. 难度：中等

近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．

27. 难度：中等

比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴而行，到相距16米的银树下参加探讨环境保护的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后，提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．

28. 难度：中等

已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x²-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．