第24章《圆》中考题集（43）：24.2 点、直线和圆的位置关系（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是线段BC的中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

2. 难度：中等

如图，AB是⊙O₁与⊙O₂的公共弦，O₁在⊙O₂上，BD，O₁C分别是⊙O₁与⊙O₂的直径，CA与BD的延长线交于E点，AB与O₁C相交于M点．
（1）求证：EA是⊙O₁的切线；
（2）连接AD，求证：AD∥O₁C；
（3）若DE=1，设⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R，且，求r的长．

3. 难度：中等

如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x²-6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长．

4. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值；
（2）当O＜t＜2时，写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）判断直线BC和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求AD的长．

6. 难度：中等

如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

7. 难度：中等

如图，已知AB为⊙O的直径，⊙O₁以OA为直径，⊙O的弦AD交⊙O₁于点C，BC⊥OD于点E．
（1）求证：BC为⊙O₁的切线；
（2）若OE=2，求⊙O的半径及AC的长．

8. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD，OB，DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

9. 难度：中等

如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．

10. 难度：中等

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若四边形AOED是平行四边形，求∠CAB的大小．

11. 难度：中等

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂是等圆，它们相交于A、B两点，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直径，直线CB交⊙O₁于D，E为AB延长线上一点，连接DE．
（1）请你连接AD，证明：AD是⊙O₁的直径；
（2）若∠E=60°，求证：DE是⊙O₁的切线．

12. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．

13. 难度：中等

如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，且⊙O₁过点O₂，PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，连接AB，过O₁作O₁C⊥BA于C，连接CO₂．已知PA=，PB=4．
（1）求证：BA是⊙O₁的切线；
（2）求∠BCO₂的正切值．

14. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP
求证：PC是⊙O的切线．

15. 难度：中等

如图，已知：AO为⊙O₁的直径，⊙O₁与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周长．

16. 难度：中等

如图，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是O的切线吗？为什么？

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

18. 难度：中等

已知：如图⊙O是Rt△CDE的外接圆，BC⊥CE，BD和CE的延长线交于点A，且OB∥ED．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半径r．

19. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如图所示），以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）r取何值时，⊙O与AB相切；
（2）r取何值时，⊙O与AB有两个公共点；
（3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使△APD的面积为△ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．
（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件______（任写一个）；
（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．

21. 难度：中等

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

22. 难度：中等

如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB．
（1）求证：DB为⊙O的切线．
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

23. 难度：中等

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

24. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．

25. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．
（1）求证：EF=PF；
（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

26. 难度：中等

如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．
求证：PB是⊙O的切线．

27. 难度：中等

如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，我们可以证得DE是⊙O的切线．
（1）若点O沿AB向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，AB=AC不变（如图②），那么DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）在（1）的条件下，若⊙O与AC相切于点F，交AB于点G（如图③）．已知⊙O的半径长为3，CE=1，求AF的长．

28. 难度：中等

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，连接EB并延长交⊙O₁于点C，直线CA交⊙O₂于点D．
（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；
（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O₂有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直径．

29. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求的值．

30. 难度：中等

如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．