2011年北京市东城区中考数学二模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

-的绝对值是（ ）
A．
B．-2
C．-
D．2

2. 难度：中等

下列运算中，正确的是（ ）
A．a²+a³=a⁵
B．a³•a⁴=a¹²
C．a⁶÷a³=a²
D．4a-a=3a

3. 难度：中等

一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

6. 难度：中等

在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：

金额（元）	20	30	35	50	100
学生数（人）	3	7	5	15	10

则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是（ ）
A．30，35
B．50，35
C．50，50
D．15，50

7. 难度：中等

已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-1=0根的情况是（ ）

A．有两个不等实根
B．有两个相等实根
C．没有实根
D．无法确定

8. 难度：中等

用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y=min{x²+1，1-x²}，则y的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

反比例函数y=的图象经过点（-2，1），则k的值为    ．

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是    ．（写出名称）

11. 难度：中等

如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为    ．

12. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A₁BC₁的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

先化简：（2x+1）²+（x+2）（x-2）-4x（x+1），再求值，其中．

14. 难度：中等

解方程：

15. 难度：中等

如图，点A、B、C的坐标分别为（3，3）、（2，1）、（5，1），将△ABC先向下平移4个单位，得△A₁B₁C₁；再将△A₁B₁C₁沿y轴翻折，得
△A₂B₂C₂．
（1）画出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂；
（2）求线段B₂C长．

16. 难度：中等

如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF∥AB，AE=EC．
求证：AD=CF．

17. 难度：中等

为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三（1）班提出“我骑车我快乐”的口号．“五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学．五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升．若小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，点Q的坐标为（0，2）．
（1）求直线QC的解析式；
（2）点P（a，0）在边AB上运动，若过点P、Q的直线将矩形ABCD的周长分成3：1两部分，求出此时a的值．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是∠ABC的平分线．
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠ABC=60°，BC=3AB，求∠C的度数．

20. 难度：中等

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．

21. 难度：中等

某商店在四个月的试销期内，只销售A，B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图1和图2．
（1）第四个月销量占总销量的百分比是______；
（2）在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；
（3）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．

22. 难度：中等

如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图．为了得到裁剪的角度，我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究．
（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；
（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）．

23. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b=2：，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x²+2ax+b²的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x-y的最大值．

24. 难度：中等

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

25. 难度：中等

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．