2007年福建省福州一中高中招生（面向福州以外）综合素质测试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考”在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是（ ）

A．祝
B．你
C．成
D．功

2. 难度：中等

给出下列关系式：（1）（-a²）³=-a⁵；（2）；（3）（a+b）（a²-ab+b²）=a³+b³；（4）（0.5）²⁰⁰⁷×2²⁰⁰⁸=2．其中一定成立的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

如图，直线l交圆O于A、B两点，且将圆O分成3：1两段．若圆O半径为2cm，则△OAB的面积为（ ）

A．1cm²
B．cm²
C．2cm²
D．4cm²

4. 难度：中等

已知x=3，x=0是关于x的不等式a-3x＜4ax+2的两个解，则a的取值范围为（ ）
A．-1≤a≤2
B．a＜-1
C．-1＜a＜2
D．a＞2

5. 难度：中等

如图，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1cm．将△ABC沿直线L从左向右翻转3次，则点B经过的路程等于（ ）

A．cm
B．cm
C．cm
D．cm

6. 难度：中等

今年是福州一中建校190周年，现将正整数1，2，3，4，5，…按右表所示规律填入表格，则190在表格中的位置是（ ）

1	3	6	10	…
2	5	9	…
4	8	…
7	…
…

A．第1行，第19列
B．第20行，第1列
C．第19行，第1列
D．第1行，第20列

二、填空题

7. 难度：中等

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交另一腰AC于点E，若∠EBC=15°，则∠A=    度．

8. 难度：中等

代数式的一切可能值为    ．

9. 难度：中等

若方程有增根x=2，则m=    ．

10. 难度：中等

口袋内装有编号为1、2、3、4、5、6的六个大小、形状完全相同的小球，其中1、2号球为红色，3、4号球为白色，5、6号球为蓝色．现从中连续两次不放回地各摸出一个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为    ．

11. 难度：中等

如图，△AOB和△BCD都是等边三角形，点A、C在函数的图象上，并且边OB、BD都在x轴正半轴上，若OA=4，则点C的横坐标为    ．

12. 难度：中等

符号max{a，b}的含义是：若a≥b，则max{a，b}=a；若a＜b，则max{a，b}=b．如max{-1，-3}=-1，max{3，5}=5．则max{x²，x+2}的最小值为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
（1）已知b=6，c=8，∠A=60°，求a的值；
（2）一般地，在三角形中，已知两边及其夹角可以利用公式求出第三边的长，现请你探索已知b，c，A，求a的计算公式，并就△ABC为锐角三角形这一情况，证明你的结论．

14. 难度：中等

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=9，OC=15，将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA₁B₁C₁．将矩形OA₁B₁C₁折叠，使得点B₁落在x轴上，并与x轴上的点B₂重合，折痕为A₁D．
（1）求点B₂的坐标；
（2）求折痕A₁D所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠BPB₁为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

如图，已知A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，8），⊙A与y轴相切，AB交⊙O于点P，过点P作⊙A的切线交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）证明：AD=AB；
（2）求经过A，D，C三点的抛物线的函数关系式；
（3）若点M在第一象限，且在（2）中的抛物线上，求四边形AMCD面积的最大值及此时点M的坐标．