Question

如图，已知A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，8），⊙A与y轴相切，AB交⊙O于点P，过点P作⊙A的切线交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）证明：AD=AB；
（2）求经过A，D，C三点的抛物线的函数关系式；
（3）若点M在第一象限，且在（2）中的抛物线上，求四边形AMCD面积的最大值及此时点M的坐标．

Answer

（1）首先求证△ADP≌△ABO得出AD=AB；
（2）求出AB以及D点坐标，然后证明△DCO∽△DAP．设y=a（x-6）（x+4）易求a的值；
（3）设M点的坐标为（p，q），过M做MN⊥X轴，可得则S四边形AMCD=S△COD+S四边形MNOC+S△MNA，解出p值．
【解析】
（1）∵DP切⊙A于P，
∴∠APD=90°
在△ADP和△ABO中，，
∴△ADP≌△ABO（ASA），
∴AD=AB．

（2）在Rt△AOB中，由AO=6，BO=8，得AB=10．
∵AD=AB，故AD=10，
∴OD=AD-AO=4，
因此D点坐标为（-4，0）
又∵∠CDO=∠ADP，∠COD=∠APD=90°
∴△DCO∽△DAP
∴，
即，CO=3．
∴C点坐标为（0，3）
经过A（6，0），D（-4，0），C（0，3）的抛物线解析式可设为y=a（x-6）（x+4），
将C（0，3）代入得，．
所以，所求抛物线的函数关系式为y=-（x-6）（x+4）=-x2+x+3．

（3）设M点坐标为（p，q），-p＞0，q＞0，q=-p2+p+3，
过M作MN⊥x轴于N，则S四边形AMCD=S△COD+S四边形MNOC+S△MNA
=×4×3+×p+（6-p）×q
=6+p+3q=-p2+p+15=-（p-3）2+．
∴当p=3时，四边形AMCD面积最大，最大值为．
此时M点坐标为（3，）．