2006年浙江省温州中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程x²-5|x|-6=0实根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY=4，则图中圆环的面积为（ ）

A．16π
B．8π
C．4π
D．2π

3. 难度：中等

已知mn＜0且1-m＞1-n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设P₁、P₂、P₃、P₄是不等于零的有理数，q₁、q₂、q₃、q₄是无理数，则下列四个数①p₁²+q₁²，②（P₂+q₂）²，③（P₃+q₃）q₃，④P₄（P₄+q₄）中必为无理数的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（ ）
A．1场
B．2场
C．3场
D．4场

6. 难度：中等

将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上的数的最小值和最大值分别是（ ）
A．7，9
B．6，9
C．7，10
D．6，10

二、填空题

7. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为函数图象上的两点，且x₁＜0＜x₂，y₁＞y₂，则实数k的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知是一个三位数，且，则=    ．

9. 难度：中等

已知|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4，则实数x的取值范围是   

10. 难度：中等

如图，⊙O外接于边长为2的正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP=1，则=    ．

11. 难度：中等

（2011•宝安区三模）如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为    ．

12. 难度：中等

如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边AB、BC、AC上的点，则DE+EF+FD的最小值为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知四个互不相等的实数x₁，x₂，x₃，x₄，其中x₁＜x₂，x₃＜x₄．
（1）请列举x₁，x₂，x₃，x₄从小到大排列的所有可能情况；
（2）已知a为实数，函数y=x²-4x+a与x轴交于（x₁，0），（x₂，0）两点，函数y=x²+ax-4与x轴交于（x₃，0），（x₄，0）两点．若这四个交点从左到右依次标为A，B，C，D，且AB=BC=CD，求a的值．

14. 难度：中等

如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是180，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H，设，m是整数．
（1）若m=2，求△GHD的面积；
（2）若△GHD的面积为整数，求m的值．

15. 难度：中等

n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：

（1）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．

（2）能否通过若干次操作完成图中的变换请说明理由．

（3）能否通过若干次操作完成图中的变换？请说明理由．

16. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC．

17. 难度：中等

已知方程x³-（1+2•3^m）x²+（5ⁿ+2•3^m）x-5ⁿ=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．