Question

如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC．

Answer

要证OE⊥EC，就要得出∠OEC=90°，连接AE，BE，OA，OB，根据OA=OB，不难得出∠AEO=∠BEO=∠AEB，由于四边形AOBE是圆的内接四边形，因此∠AOB+∠AEB=180°，那么只需证∠AEC=∠AOB即可．连接AD，根据圆周角定理∠ADC=∠AEC，在优弧AB上，求一点F，连接AF，BF，那么四边形ADBF就是圆O的内接四边形，∠ADC=∠F，而∠F=∠AOB=∠AEC，由此可得证．
证明：如图，在上取点F，连接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，则
∵A，D，B，F共圆，A，D，E，C共圆
∴∠AEC=∠ADC=∠F=∠AOB
∵AO=BO
∴
∴∠AEO=∠BEO=∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=（∠AOB+∠AEB）=90°
∴OE⊥EC．