Question

将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上的数的最小值和最大值分别是（ ）
A．7，9
B．6，9
C．7，10
D．6，10

Answer

棱上的数可能是3，4，5，6，7，8，9，10，11这9个数中的几个．
证明：
①根据题意，相邻两面上的数相加，正方体每个面都有4个相邻面，
所以：每个面的数字都是加4遍；
1、2、3、4、5、6这6个数的和为21；
所以：不论数字怎么摆放，12条棱12个数字的和恒等于：4×21=84

这6个数任取2个相加，只有9个不重复的数字：3，4，5，6，7，8，9，10，11
所以：根据“抽屉原理”，12条棱的数字至少重复3个．
即：棱上不同和数的个数最多9个！

②9个和数3，4，5，6，7，8，9，10，11分【解析】

3=1+2
4=1+3
5=1+4=2+3[可重复1次]
6=1+5=2+4[可重复1次]
7=1+6=2+5=3+4[可重复2次]
8=2+6=3+5[可重复1次]
9=3+6=4+5[可重复1次]
10=4+6
11=5+6
如果所有重复的情况都出现，这些重复的数字的和为：
2*（5+6+8+9）+3*7=56+21=77
12个和数字的和恒为84，剩余一个和数=84-77=7，而7已经被重复了2次，不可能再出现．
所以这种情况不成立．
所以最多只能重复5次．

即：棱上和数最少7个．
故选A．