Question

已知方程x³-（1+2•3^m）x²+（5ⁿ+2•3^m）x-5ⁿ=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．

Answer

（1）若n=m=0，则方程化为x3-3x2+3x-1=0，即（x-1）3=0．求解即可；
（2）设方程x2-2•3mx+5n=0的两个解为x1，x2．根据公式法求得后，再确定m，n的值；
（3）设9m-5n=k2（其中k为整数），有9m-k2=5n，即（3m-k）（3m+k）=5n，再设（其中i+j=n，i，j为非负整数），因此2•3m=5j（5j-i+1），可得到2•3m=5n+1，然后讨论m，n的取值．
【解析】
（1）若n=m=0，则方程化为x3-3x2+3x-1=0，即（x-1）3=0．
所以x1=x2=x3=1．

（2）方程化为（x-1）（x2-2•3mx+5n）=0
设方程x2-2•3mx+5n=0的两个解为x1，x2．
则．
当m=n=1时，方程的三个根均为整数；

（3）设9m-5n=k2（其中k为整数）
所以9m-k2=5n，即（3m-k）（3m+k）=5n，
不妨设（其中i+j=n，i，j为非负整数），
因此：2•3m=5j（5j-i+1），
又∵5不能整除2•3m，
∴i=0，因此有2•3m=5n+1，
要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1，此时x1=x2=1，x3=5．