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如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点． （Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值； （Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由． 
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某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于  ，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值． |
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已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是： ，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长． |
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设矩阵A= ，求矩阵A的特征向量． |
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从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设数列{an}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列． （1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q． （2）若a1=7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由． （3）若a1=1，从数列{an}中取出第1项、第m（m≥2）项（设am=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由． |
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设函数 ，其中a＞0，（1）解不等式f（x）≤1； （2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调函数． |
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在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小． （1）写出圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使  、 、 成等比数列，求 的范围；（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断  是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由． |
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如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在△PAQ内（图中阴影部分）进行绿化．设△PAQ的面积为S（单位：m2）． （1）设∠BOP=α（rad），将S表示为α的函数； （2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积． 
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如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的 中点，G为DF的中点． （1）求证：EF⊥平面B1BDD1； （2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EG∥MA1． 
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已知 =（sinθ，-2）与 =（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0， ）．（1）求sinθ和cosθ的值； （2）若sin（θ-j）=  ，0＜j＜ ，求j的值． |
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