Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（1）求m的值和该切线的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）求导函数，利用函数的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行，结合m＞-2，即可求m的值和切线方程；
（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=-3x2-4mx-m2，
∵函数的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行
∴f′（2）=-12-8m-m2=-5
∴m2+8m+7=0
∴m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f（x）=-x3+2x2-x+2
∴f（2）=-8+8-2+2=0，即切点坐标为（2，0）
∴切线方程为y-0=-5（x-2），即5x+y-10=0；
（2）由（1）知，f′（x）=-3x2+4x-1=-3（x-1）（3x-1），
由f′（x）＞0可得；由f′（x）＜0可得x＜或x＞1，
∴函数的单调增区间为；单调减区间为（-∞，），（1，+∞）．