Question

如图所示，质量m=1 Kg的滑板A带有四分之一光滑圆轨道，圆轨道的半径R=1.8 m，圆弧底端点切线水平，滑板的水平部分粗糙。现滑板A静止在光滑水平面上，左侧紧靠固定挡板，右侧有与A等高的平台，平台与A的右端间距为s。平台最右端有一个高h=1.25 m的光滑斜坡，斜坡和平台用长度不计的小光滑圆弧连接，斜坡顶端连接另一水平面。现将质量m=2 kg的小滑块B(可视为质点)从A的顶端由静止释放，取重力加速度g=10m／s²。求：   

(1)滑块B刚滑到圆弧底端时，对圆弧底端轨道的压力大小。

(2)若A、B间动摩擦因数μ₁=0.5，保证A与平台相碰前A、B能达到共同速度，则s应满足什么条件?

(3)平台上P、Q之间是一个宽度l=0.5 m的特殊区域，该区域粗糙，且当滑块B进入后，滑块还会受到一个水平向右、大小F=20 N的恒力作用，平台其余部分光滑。在满足第(2)问的条件下，若A与B共速时，B刚好滑到A的右端，A恰与平台相碰，此后B滑上平台，同时快速撤去A。设B与PQ之间的动摩擦因数0<μ<l，试讨论因μ的取值不同，B在PQ间通过的路程大小。

Answer

（1）60N （2）s>0.8m （3）

【解析】（1）设滑块B滑到A底端的速度为v0,根据机械能守恒定律可得： 解得：v0=6m/s

设滑块B刚下滑到圆弧底端时，圆弧轨道对滑块的支持力为FN,由牛顿定律得：

解得FN=60N

根据牛顿第三定律得：F压=FN=60N

（2）设AB的共同速度v1，由动量守恒定律可得：

解得：v1=4m/s对A 由动能定理： 解得s=0.8m即保证A与平台相碰前AB能够共速，s应满足s>0.8m

（3）设滑块到达Q处的速度v2时，滑块恰好到达斜坡顶端，根据机械能守恒定律可得：

解得v2=5m/s

由（2）可知滑块进入PQ间时的速度大小为v1，当滑块到达Q处速度v2=5m/s时，对滑块，由动能定理

解得μ=0.1

即0<μ≤0.1，滑块从斜坡顶端离开；滑块在PQ间通过的路程为0.5m

若滑块滑上斜坡后，从斜坡返回，到达P点速度刚好为零，设此时动摩擦因数为μ2，对滑块由动能定理：

解得：μ2=0.8,

0.1<μ≤0.8，滑块从P左端离开，滑块在PQ间通过的路程为1m；

若0.8<μ<1，则B最终静止在Q点，设滑块在PQ间通过的路程为，

对滑块由动能定理：

解得：