Question

在直角坐标系xoy中，A(-0.3, 0)、C是x轴上的两点，P点的坐标为(0, 0.3)。在第二象限内以D(-0.3, 0.3)为圆心，0.3m为半径的圆形区域内，分布着方向垂直xoy平面向外、磁感应强度大小为B=0.1T的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场。现有大量质量为m=3×10^-9kg、电荷量为q=1×10^-4C的相同粒子，从A点平行xoy平面以相同速率，沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点进入电场，经电场后恰好通过C点。已知α=37º，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：

(1)粒子的初速度大小和电场强度E的大小；

(2)粒子穿越x正半轴的最大坐标。

Answer

（1）， ；（2）

【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径r，粒子的初速度v
   洛伦兹力提供向心力：
   可得： ①
  根据题意和几何知识，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×103m/s
沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直．所以，该粒子在电场中做类平抛运动，设类平抛运动时间为t

 x方向：OC=vt ②
y方向：OP= at2 ③

根据几何关系得： ④

 根据牛顿第二定律：Eq=ma ⑤

②③④⑤式子联立得：E=112.5V/m

（2）设速度方向与x轴正方向的夹角为θ的入射粒子，从x正半轴穿过时距离O点最远，粒子从F点离开磁场，其中O′是粒子运动轨迹的圆心，粒子运动到F点时的速度为vF，由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以四边形ADFO′为菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是竖直方向，所以vF垂直于y轴从F′点进入电场，仍做类平抛运动，设粒子在电场中的运动时间为t′，粒子穿越x正半轴的最大坐标为xC，粒子做类平抛运动x方向的位移为x，F′点的坐标为（xF′，yF′），F点的纵坐标为yF，则yF=yF′，

类平抛过程，x方向：x=vt′⑥

 y方向：yF= at′2 ⑦

粒子到达x轴的坐标为xC=x+xF′⑧

根据几何关系得：   ⑨
yF=r（1-cosθ） ⑩

联立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：

令 ，所以xC=0.4k+0.4（1-k2）

根据数学知识可知，当k=0.5时xC有最大值，最大值为0.5m

点睛：本题考查带电粒子在复合场中的运动问题，根据运动形式选择合适方法处理．对于类平抛运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，洛伦兹力提供向心力，再由几何知识求解半径，二者联立即可；第二问粒子在磁场中粒子的运动，由于粒子做圆周运动的半径和磁场半径相等，有结论：所有从A点朝∠DAO方向出射的粒子都平行x轴出射，证明的方法为：作出由粒子轨迹圆的圆心、磁场圆的圆心以及出射点、入射点四点组成的四边形，证明其为菱形；经常围绕这个模型出“一点发射的粒子平行出射”或者“平行入射的粒子汇聚一点”等问题，大家要牢记．