Question

如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度落在墙边.

求这个圆柱形房屋的高度H和半径R.（g取10 m/s²）

Answer

3.3m 4.8m

【解析】

整体分析：设绳与竖直方向夹角为θ，则通过重力与拉力的关系求出夹角θ，小球在绳子断开后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出下落的高度，根据几何关系即可求得H，根据向心力公式求出绳断时的速度，进而求出水平位移，再根据几何关系可求R。

（1）如图所示，选小球为研究对象，设绳刚要断裂时细绳的拉力大小为T，绳

与竖直方向夹角为θ，则在竖直方向有：T cosθ-mg=0，

解得： ，故θ=60°

那么球做圆周运动的半径为：

OO′间的距离为：OO′=Lcos60°=1.5m，

则O′O″间的距离为O′O″=H-OO=H-1.5m．

根据牛顿第二定律：

联立以上并代入数据解得：

设在A点绳断，细绳断裂后小球做平抛运动，落在墙边C处．

设A点在地面上的投影为B，如图所示．

由速度运动的合成可知落地速度为：v2=vA2+（gt）2，

代入数据可得小球平抛运动的时间：t=0.6s

由平抛运动的规律可知小球在竖直方向上的位移为：

所以屋的高度为H=h1+1.5m=3.3m

小球在水平方向上的位移为：

由图可知，圆柱形屋的半径为R2=r2+(xBC)2

代入数据解得：R=4.8m

点睛：本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，同学们要理清运动过程，并能画出小球运动的轨迹，尤其是落地时水平位移与两个半径间的关系，在结合几何关系即可解题．