Question

已知函数.

（1）当时，证明：在上恒成立；

（2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求导得到，得到函数的单调区间，计算最小值为，得到答案.

（2）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的最值得到答案.

（1），，

故当时，，故函数在上单调递增，

故，即在上恒成立.

（2）依题意，，

①当时，恒成立，所以在上单调递增，

因为，所以有唯一零点，即符合题意；

②当时，令，解得，

故当时，，当时，，

故，

（ⅰ）当，即时，，故符合题意；

（ⅱ）当，即时，，

因为，且，故，

故存在，使得，故不符合题意；

（ⅲ）当，即时，，

因为，

设，则，

故，所以单调递增，即，故，

又，所以，故存在，使得，

所以不符合题意.

综上所述，实数a的取值范围为.