Question

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

①每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求甲同学能进入下一轮的概率；

（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ．

Answer

（1）；（2） 分布列见解析，期望为

【解析】

（1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互对立事件和互斥事件的概率公式，得到结果；

（2）哟图一可知答对一个题或答错一个题都不能决定你甲的去留，所以最少答两个题，随机变量可能的取值为，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互对立事件同时发生的概率得到结果．

设分别是第一、二、三、四个问题，用表示甲同学第个问题回答正确，用表示第个问题回答错误，则是对立事件，

由题意得，,

则，

（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，

则

．

（2）由题意，可知随机变量可能的取值，

由于每题答题结果都是相对对立的，

因为,

,

2

3

4

所以．