Question

已知函数，其中为常数．

（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；

（2）当时，若函数在上有两个零点．求实数的取值范围．

Answer

(1) (2)

【解析】

（1）设切点， 由题意得，解方程组即可得结果；（2）函数在上有两个零点等价于，函数 的图象与直线有两个交点，设，利用导数可得函数在处取得极大值，结合，，从而可得结果.

（1）函数的定义域为，，

曲线在点处的切线方程为.

由题意得

解得，.所以的值为1.

（2）当时，，则，

由，得，由，得，则有最小值为，即，

所以，，

由已知可得函数 的图象与直线有两个交点，

设，

则，

令，，

由，可知，所以在上为减函数，

由，得时，，当时，，

即当时，，当时，，

则函数在上为增函数，在上为减函数，

所以，函数在处取得极大值，

又，，

所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是，

即.