Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系求解；

（Ⅱ）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）（x＞0）．

①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；

②当＞1时，令G（x），利用导数求得最小值大于0即可．

解．（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∵，

∴x∈（﹣∞，0），（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0

∴函数f（x）的单调增区间为：（1，+∞），减区间为（﹣∞，0），（0，1）．

（2）af（x）＞lnx⇔．

令F（x），

F′（x）．（x＞0）．

①当x∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；

②当x＞1时，令G（x），G．

∴G（x）在（1，+∞）单调递增，

∵x→1时，G（x）→﹣∞，G（2）＝e20，

∴G（x）存在唯一零点0∈（1，2），

F（x）min＝F（x0）

∵G（x0）＝0，．

综上所述，当时，af（x）＞lnx成立．