Question

设整数模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余.

Answer

见解析

【解析】

记.不妨设

.

对每个整数，若

，

则令；

否则，令.

若为前一种情形， 则

.

若为后一种情形，则

.

若不然，有

，

.

上面两式相加得

.

于是，.

但模2014（=2k）互不同余，特别地，，矛盾.

由上述构造方法知模4k互不同余.即只需证明结论：对任意整数，模4k两两不同余.

注意到，前面的构造方式已保证

. ①

[情形1]，且.

则由前面的构造方式知

，

.

由于，故易知与及模2k不同余，与及模2k不同余，从而，模4k更不同余，再结合式①，结论得证.

[情形2]，且.

则由前面的构造方式知

，

.

同样有与及模2k不同余，与及模2k不同余.

与情形1相同知结论得证.

[情形3] ，且（，且的情形与此相同）.

则由前面的构造方式知

，

.

由于k为奇数，则.

故.

因此，与及模2k不同余，与及模2k不同余.从而，结论得证.

综上，本题得证.