Question

设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

Answer

【解析】

对有限非空实数集A，用与分别表示集合A的最小元素与最大元素.

考虑集合S的所有包含1且至少有两个元素的子集.

注意到，，

故.

于是，这样的子集一共个.

显然满足要求.

接下来证明：当时，不存在满足要求的k个子集.

用数学归纳法证明：对整数，在集合的任意个不同非空子集中，存在两个子集，满足，且. ①

显然，只需对的情形证明上述结论.

当时，将的全部七个非空子集分成三组，

第一组：｛3｝，｛1，3｝，｛2，3｝；

第二组：｛2｝，｛1，2｝；

第三组：｛1｝，｛1，2，3｝.

由抽屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中， 取同组中的两个子集分别记为，在排在前面的记为，则满足结论①.

假设结论在时成立.考虑时的情形.

若中至少有个子集不含，对其中的个子集用归纳假设，知存在两个子集满足结论①.

若至多有-1个子集不含，则至少有+1个子集含，将其中+1个子集均去掉，得到｛1，2，…，n｝的+1个子集.

由于｛1，2，…，n｝的全体子集可分为组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在上述+1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.

因此，相应地有两个子集满足，这两个集合显然满足结论①.

于是，时结论成立.

综上，.